Conta a lenda que Pitágoras, ao olhar para o chão onde apareciam desenhos verificou, por composição e decomposição de figuras, uma propriedade de todos os triângulos retângulos:
A área de um quadrado construído sobre a hipotenusa (lado oposto ao ângulo recto) de um triângulo rectângulo é igual à soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos (os outros dois lados).
Desta relação surgiu o Teorema de Pitágoras tal como o conhecemos hoje:Num triângulo rectângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.
Atualmente, são conhecidas várias demonstrações do Teorema de Pitágoras. Aquela que se pensa ter sido a demonstração original (ou uma delas) é a seguinte:
Temos dois quadrados iguais de lado a+b.
Todos os triângulos rectângulos marcados em ambos os quadrados são iguais (a e b são os seus catetos e c a hipotenusa).
O primeiro quadrado é formado por quatro triângulos e por um quadrado de lado c, pelo que a sua área é c2 + 4(ab/2) = c2 + 2ab.
O segundo quadrado é formado por dois quadrados de lados a e b e por quatro triângulos.

Logo, a sua área é dada pora2 + b2 + 4(ab/2) = a2 + b2 + 2ab.
Igualando ambas as expressões, temosc2 + 2ab = a2 + b2 + 2abou seja, a2 + b2 = C2

Passos históricosDurante séculos, os matemáticos questionaram: "Qual a demonstração feita por Pitágoras?". Hoje, parece não existir mais dúvidas de que Pitágoras teria seguido os seguintes passos:Provável forma usada por Pitágoras para demonstrar o teorema que leva o nome.
Desenha-se um quadrado de lado a + b;
Traçam-se dois segmentos paralelos aos lados do quadrado;
Divide-se cada um destes dois rectângulos em dois triângulos retos, traçando as diagonais.
Chama-se C o comprimento de cada diagonal;
A área da região formada ao retirar os quatro triângulos retos é igual a a² + b²;
Desenha-se agora o mesmo quadrado de lado a + b, mas colocamos os quatro triângulos retos noutra posição.Assim, a área da região formada quando se retiram os quatro triângulos retos é igual a: c²
Foi assim que Pitágoras chegou à conclusão de que: a² + b² = c², ou seja, num triângulo retângulo o quadrado da hipotenusa é igual á soma dos quadrados dos catetos. O segmento de medida c foi chamado de hipotenusa e os de medida a e b foram chamados de catetos.
Outros matemáticos, muito antes de Pitágoras, conheciam o teorema mas nenhum deles, até então, havia conseguido demonstrar que ele era válido para qualquer triângulo retângulo.
Talvez nenhuma outra relação geométrica seja tão utilizada em matemática como o Teorema de Pitágoras. Ao longo dos séculos, foram sendo registrados muitos problemas curiosos, cuja a resolução tem como base este famoso teorema.

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